交互作用及其存在性辨析

综 述

在工艺优化过程中，因子的特性与对应变量的贡献的宏观机制起着重要的作用。 工业过程工艺优化的根本是找到因子的恰当参数设计，即最好的变化区间。 这与因子的特性与机制有关。在工业试验中，完全搞清因子的作用机理是几乎不可能的，也没有必要。 而了解其宏观机制是必要的。掌握了宏观机制，找到了优化的关键，问题就基本上解决了，是什么机理，可以让科学理论家们去解决。
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析因模型

交互效应辨析

大系统分解

1. 析因模型

p 个试验因子 x₁,x₂,...,x_p ,可以作成以下一些因子组合：
单因子项：x₁,x₂,...,x_p，共有 C¹_p项;
二元组合： x_ix_j (i≠j; i,j=1,2,...,p)，共有 C²_p 项;
三元组合： x_ix_jx_k (i≠j≠k; i,j,k=1,2,...,p), 共有 C³_p 项;
r 元组合: x_n1x_n2... x_n(r-1)x_nr, 其中ub>,...,n_(r-1),n_r) 为 (1,2,...,p) 中任 r (r=1,2,...,p) 个数字的组合，有 C^r_p 项。
Cⁱ_p 都是二项式系数，与二项式系数相比，差一项 C_p⁰ 。 系统包含一个常数项, 补充这个项后，组合总数为
T=∑^p_i=0 Cⁱ_p=2^p------() 用所有这些因子组合，可以组成一个函数
f(x₁,x₂,...,x_p,b₀,b₁,...,b_T) =b₀+b₁x₁+b₂x₂+...+b_px_p
+b_1,2x₁x₂+b_1,3x₁x₃+...+b_1,px₁x_p
+b_2,3x₂x₃+b_2,4x₂x₄+...+b_2,px₂x_p
+...+b_p-1,px_p-1x_p
+b_1,2,3 x₁x₂x₃+b_1,2,4x₁x₂x₄
+...+b_p-2,p-1,px_p-2x_p-1x_p
+...+b_1,2,3,...,px₁x₂...x_p

它是一个包含 2^p-1 个项有 2^p 个待定参数的方程，称为全析因模型。 对应地，如果放弃某些项得到的就是部分析因模型。 一个因子对响应变量的贡献，通常称为因子的效应。 它的贡献可以分解为若干部分。一部分是它独立做出的贡献，称为一个因子的主效应。 它与其它因素共同发生作用，或互补，或互克，体现出各个因子之间的相互影响相互依存的关系，称为交互作用。 一个因子的作用，依条件不同而效应值不同。两个因子的交互作用是一个因子，所具有的效应称为该两个因子的交互效应。 在回归方程中，因子的作用由回归系数来描写。一个因子变化一个单位， 所引起响应变量值发生的变化，为该因子的总效应。在多项式中，如果一个项只包含一个试验变量， 则该项的系数所表达的就是该因子独立做出的贡献，即主效应。 如果一个项的组成包含多个不同变量的积，当这两个因子都发生一个单位量的改变时， 这个项对应变量的贡献也是它的系数。这个系数值描写了这些变量的交互作用。 这样，用多项式描写过程能够分解效应（析因）。所以，常常用多项式做回归模型。 在某些实验中，因子常常是不连续，甚至是非数字的定性因子，因子以水平方式变化，对效应的解释有些不同， “所谓主效应，是指同一因素各水平之间的差异；交互作用是指一个因素的效应因另一因素的水平的改变而起的变化。” （参见《中国大百科全书》数学卷，析因设计词条。）这一术语是习惯的，在不同研究中对效应的解释会有所不同。
在多项式中，如果希望应变量趋大，当变量的效应（系数值）为正时，变量的取值应趋大； 效应为负时，变量的取值则应趋小。正是多项式的这种优点，我们总是假想过程具有这样的结构。 当过程不具有这样的结构形式时，千方百计用这种形式的方程去近似它，以化繁为简，化难为易。 所谓优化，就是寻找一组因子的控制状态，使相应的响应变量达到最大。
析因模型用因子的主效应和交互效应来反映因子的作用，描写过程的非线性特性， 是对过程规律的一种表达方式，在一定的意义上反映了事物的客观规律。
当因子较多时，不可能实际测定这些效应。多水平试验所需试验太多，不可能被接受。 人们将其化简，删去某些效应。大多数情况下，删去高阶交互效应。 一些交互效应本来存在，把它删除，它们的方差必定转移到其它因子（效应）上去了。 相应地，一些效应本来并不显著，因为得到了多余效应值而变得显著了，这也是不合理的。 所有这些不合理，最终会在一定程度上误导工艺。该重视的重视不够，不该重视的重视有嘉。 在这一意义上，析因模型是有局限性的。
交互作用是表达因子作用机制的一种形式。要做好试验设计，必须处理好交互作用问题。 客观过程，真正的线性系统是不多见的。也就是说，交互作用普遍存在。 交互作用带来的困扰在于：

1. 交互作用非常复杂，哪个存在，哪个不存在，很难判断。由前面的分析，这么多的交互效应，哪能搞得清楚。
2. 处理交互作用要成倍地增加自由度，也就是说，要成倍地增加试验数。 在方差分析中，二水平试验的两个因子的交互作用需要一个列来估计其效应， 在 3 水平试验中研究一个两因子交互效应需要 2 列 (4 个自由度)， 4 水平试验需要 3 列 (9 个自由度)，依此类推。 更高阶的交互效应需要占用更多自由度，很少见标示高阶交互作用的多水平正交表。 而 n 个试验的总自由度是 n-1，可以想见，研究交互作用需要多大的代价。
3. 交互作用的确定非常困难，大多数情况下是一种假设。 在回归模型设计时，常常是将拟合函数展开成泰勒级数， 然后删除高阶项。这种删除本身是盲目的。数学分析中，高阶项对应高阶无穷小。 这个假设应用到试验设计不合理。因为，在实验设计中，水平变动不是无穷小量。 一个因子在各个项中都是以水平为变动单位，哪来的无穷小。 在一个系统中，每一个因子的存在都有其合理性， 如果没有存在的合理性就应该删除它。我们没有理由认为高阶交互作用存在的可能性比低阶小， 也没有理由认为高阶交互作用比低阶交互作用小。笼统地删除高阶项的操作完全没有道理。
4. 一般来说，交互作用不是常数，在不同的试验区域，效应值不同。仅当因子的作用机制为线性时效应值为常数。

有两种处理方法：一种是摆脱交互作用，参见《梯度法与小局域试验》； 一种是利用专业经验，在事前作出预判断。这种预判断有两层：一是大系统分解为子系统； 一是从因子间的关系判断交互作用的存在性。这是可能的。
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下面我们来说明事前判断的原理。

2. 交互作用辨析原理

2.1 二元交互作用

假设系统的一个子系统只有两个变量x₁,x₂，根据析因原理
y=b₀+b₁x₁+b₂x₂+b₃x₁x₂+ e------(1) 其中，e 为误差，假设有以下试验，
二元析因设计

序号	x1	x2	y
1	0	0	y1
2	1	0	y2
3	0	1	y3
4	1	1	y4

把实验数据代入式(1)，则可以得到回归系数估计值 β ：
y₁=β₀------(2)
y₂=β₀+β₁------(3)
y₃=β₀+β₂------(4)
y₄=β₀+β₁+β₂+β₃.------(5)


依次解出 β ，
β₀=y₁------(6)
β₁=y₂-y₁------(7)
β₂=y₃-y₁------(8)
β₃=y₄+y₁-(y₂+y₃).------(9)


如果 y₄+y₁=y₂+y₃ ，那么，x₁ 与 x₂之间不存在交互作用，否则，交互作用存在。 若能判断y₁=0，则第一号试验不必做，即
β₃=y₄-(y₂+y₃).------(10) 如果β₃ 很小，交互作用微弱，或可忽略。 对于有专业经验的人来说，并不需要具体去做这些实验就可以做出判断。以橡胶工业为例，假如x₁,x₂ 分别是橡胶和硫化剂，响应变量 y 是扯断强度，橡胶专业人员可以立即作出判断，y₁，(y₂，y₃都应该几乎是 0。 它们之间存在交互作用，仅当要测定交互作用值时需要做实验4#，这个实验值就是交互效应估计值。 但要注意，这是在 0 点的效应。这个效应不是常数，当把橡胶作为参照为常数值时，扯断强度值是硫化剂的非线性函数。 只需一点点，就会获得很大的扯断强度，硫化剂加得比较多之后，就不会有那么大的效应了。
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2.2 三元交互作用

类似的方法可以研究三元交互作用。 假如有三个变量x₁,x₂,x₃,可能的交互作用有4 种：x₁x₂,x₁x₃,x₂x₃,x₁x₂x₃。 共有8个参数需要确定。根据析因原理，数学模型为
y=b₀+b₁x₁+b₂x₂+b₃x₃ +b₄x₁x₂+b₅x₁x₃+b₆x₂x₃ +b₇x₁x₂x₃+e------(11) 该三个变量的不同配合构成 8 种状态，即 8 个试验
三元析因设计

序号	x1	x2	x3	y
1	0	0	0	y1
2	1	0	0	y2
3	0.	1	0	y3
4	1	1	0	y4
5	0	0	1	y5
6	1	0	1	y6
7	0.	1	1	y3
8	1	1	1	y8

由(11) 式，有
y₁=β₀------(12)
y₂=β₀+β₁------(13)
y₃=β₀+β₂------(14)
y₄=β₀+β₁+β₂+β₄------(15)
y₅=β₀+β₃------(16)
y₆=β₀+β₁+β₃+β₅------(17)
y₇=β₀+β₂+β₃+β₆------(18)
y₈=β₀+β₁+β₂+β₃+β₄+β₅ +β₆+β₇------(19)






容易看出，1#至4#试验本质上就是前面那一组试验，不多加讨论。 只要y₄+y₁≠y₂+y₃，则 x₁,x₂ 之间的交互作用就存在。 可以解出β,
β₀=y₁------(20)
β₁=y₂-y₁-------(21)
β₂=y₃-y₁------(22)
β₄=y₄+y₁-(y₂+y₃)------(23)
β₃=y₅-y₁------(24)
β₅=y₆ +y₁-(y₂+y₅)------(25)
β₆ = y₇+y₁-(y₃+y₅)------(26)
β₇ = (y₈ +y₂+y₃+y₅)-(y₁+y₄+y₆+y₇)------(27)






这里可以清楚地看出各交互作用存在的条件。特别地，三元交互作用存在的条件是β₇≠0。 即 (y₈ +y₂+y₃+y₅)=(y₁+y₄+y₆+y₇). 如果β₇很小，三元交互作用微弱，或可忽略。 熟悉正交表的读者都看得出，上面分别使用了正交表L₄(2³)和 L₈(2⁷)。 就是说，要弄清楚并估计出交互效应，最简单的方法就是用二水平表做全实施的试验。 这是辨析交互效应的存在的可能性。前面已经指出，对于较低级的交互作用，并不需要具体做这些试验。 只要你具备相关的专业知识，不需要做这些实验就能作出判断。 例如橡胶配方研究，胶料与硫化剂之间一定有交互作用。 如果没有硫化剂，生胶的扯断强度几乎是 0。 没有生胶，单是硫化剂，更没有强度。即y₁=0,y₂=0, y₃=0。 一旦加了硫化剂，哪怕是很少一点点，抗张强度迅速上升。 只要有橡胶工艺经验一定知道这些道理。 类似，设第三个变量是补强剂，不需要做实验就能肯定，生胶，硫化剂与补强剂三元之间存在交互效应。 同理，某些橡胶硫化工艺需要硫化促进剂，生胶、硫化剂与硫化促进剂之间也有三元交互作用，等等。 这个系统还存在更高阶的交互效应，这些高阶交互效应不是无穷小，不能被忽略。 在防老剂用量不大的条件下，防老剂对机械性能不会有多大影响。 大体上可以判断，防老系统与补强系统是相互独立的。
在研究树脂聚合工艺时，引发剂是一个特殊角色。不加引发剂，聚合速度很慢，甚至不发生聚合反应。 在研究聚合速率时，单体与引发剂之间有交互作用。在研究聚合产物质量时，交互作用也存在。 引发剂用量太少，活性中心很少，链增长受封端剂影响（假如聚会体系中包含封端剂），分子量不一定高。 引发剂浓度太高，活性中心太多，链增长受单体浓度制约，分子量反而不高。 由此可以推断，引发剂存在优化点。 单体浓度、引发剂浓度与封端剂浓度之间存在三元交互作用。需要找到优化区间。 对更多元交互作用的辨析可以类似考虑。
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3. 大系统的分解

大系统通常由较小的系统组成。对系统的恰当分解是降低研究难度，大量地减少实验数的窍门。 甚至是能否顺利快速完成开发过程的关键。在我的博文中有一些例子，可供参考。 （博文之间有些互相引用，难以避免，请谅解。）
一个系统中的因子可能是独立的或不是独立的。不独立就意味着因子之间有相互依存的关系，就是交互作用。 独立的因子可以被独立地研究，估计它的效应。
大系统的子系统之间也可能互相独立。 大系统的独立的子系统也可以分离出来单独研究，这样可以大量地减少试验数，且效果更好。 非独立的子系统之间存在交互作用，一般来说不能分离开来研究。 分离出来研究就意味着放弃子系统其间的交互作用。一个交互作用被删除，它就不能进入预报方程，预报就会发生偏差。 如果相互关系比较弱，可以选择忽略，对预报影响不大。
橡胶工艺通常由几个子系统组成，包含橡胶体系统（可能包含多种不同橡胶），交联子系统（交联剂，促交联剂等）， 补强子系统（多种碳黑及助剂），防老子系统以及硫化工艺子系统(温度，压力，硫化时间等)。 变量可能多达数十个，交互作用广泛存在，研究全部交互效应是不可能的。 当考察机械性能时，交联系统与橡胶系统之间肯定存在交互作用； 交联子系统与补强子系统之间存在交互作用；橡胶，交联系统与补强系统存在多元交互作用； 但防老系统与其他系统之间则不一定存在交互作用，或者交互作用比较微弱。 在考察橡胶制品寿命时，防老剂与橡胶之间的交互作用存在，但与补强剂之间的交互作用不一定很强。 橡胶专业工作者会有处理这些问题的经验。
对于大系统的研究，交互作用非常复杂，很难辨析其存在性。如果不是十分必要，不应该追求对交互效应的估计。 采用梯度法，试验数少，能够快速收敛到优化区。假设系统包含20个输入变量，采用不规则弱相关设计， 一组小局域试验23个试验，至少包含7个正交列，使用 13 个弱相关列，尚余三个误差自由度。 可以得到梯度的较好估计.然后逐步调优，可以得到优化的工业化参数设计。 如果采用固定水平或混合水平试验设计，固定水平或混合水平正交表比超立方阵列包含更多正交列。效果会好很多。 例如，16 运行，4 水平正交表包含10 个正交列；25运行，5水平正交表包含12个正交列，等等。 试验设计一般都应该采用固定水平或混合水平正交表， 详见我的博文中的正交表集：《Zero-correlated or Weakly-correlated Hypercube Arrays》 和 《Zero-correlated or Weakly-correlated Fixed-level Arrays》。
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参考

1. 田口玄一,《正交计划法》,丸善株式会社,东京, (1976).
2. A.S.Hedayat, N.J.A.Sloane \& John Stufken, Orthogonal Arrays:Theory and Applications,Springer,(1999).
3. 田口玄一, Intdoduction to Quality Engineering: Designing Quality into products and processes. Tokyo: Asian Productivity Organization, (1986).
4. 茆诗松,丁元,周纪芗,吕乃刚编著,《回归分析及其试验设计》,华东师范大学出版社,上海,1981 5.R.I.Jennrich 编著,杨自强译,逐步回归,《数字计算机上用的数学方法》卷Ⅲ(4), 科学出版社,北京,1981
5. 《正交试验法》编写组, 《正交试验法》, 国防工业出版社,1976
6. 中国科学院数学研究所统计组,《常用数理统计方法》,科学出版社,1973
7. 8. George.E.P.Box, J.Stuart Hunter, William G.Hunter, Statistics for Experimenters (Second Edition), Wiley-Interscience,2004
8. 中国科学院数学研究所统计组,《常用数理统计表》,科学出版社,1974